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正規分布

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のぶやさん、コメントありがとうございます。

正規分布については、まだお返事をアップしていませんでした。こちらでまとめます。

まず、最初にいただいたコメントです。

16-39aについてお答え頂ければ幸いです。文章は「正規分布の曲線は期待値と標準偏差が分かると決まってしまう」です。これがひろみさん著の『臨床心理士資格試験必勝マニュアル』p129では、期待値×→平均値○、ということで誤文とされていました。
 ところが17年度版の試験問題集を買ったところこの文章が、正文となっていたのでおかしいな、どちらが正解なのかなと悩んでいます。お教えください。

そして新しくいただいたコメントです。

16-39
「正規分布の曲線は期待値と標準偏差の分布により決まる。」という問題文は正解なのですが、「期待値」というのは、平均値と同じと考えていいのでしょうか?

「心理検査法入門」で調べました。

σ(シグマ):標準偏差
μ(ミュー):平均
とすると、正規分布は

N(μ,σ2乗)

と略記されます。つまり、μとσの関数なのです。
そして
N(0,1)となる正規分布を標準正規分布と呼びます。

したがって、

正規分布の曲線は平均と標準偏差によって決まります。

(この点で「必勝マニュアルはまちがっていませんでした(^_^;)

16-39a の「期待値」というのは、私がもっている統計の本(4冊ありますが)にはのっていません。16-39aの記述が正しいならば、のぶやさんがおっしゃるとおり、期待値=平均ということになりますね。

どなたか、ご存じの方教えてください。


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コメント

 初めまして、こんにちは。私は臨床心理士でもなければ志願者でもないのですが、ちょっと縁があって、ある志願者の方の家庭教師をしている Yosh という者です。

 さて、この問題についてですが、「数学的な理解は難しい! でも単に丸暗記するのも手がかりがなくて厳しい」という方もいらっしゃると思います。なので、さらっとした(あまり数学用語に入り込まない)説明をすることで解決の一助となればと思い、書き込ませていただきます。

 統計で使う「期待値」という言葉は、数学的には確率論で出てくる「期待値」と同じ物です。が、イメージ的には「(母集団の)理論上の平均値」と捉えるとわかりやすいと思います。正直、臨床心理士の試験だとこのくらいの理解でちょうど良いと思います。

投稿: Yosh | 2006.07.08 03:36

新たに質問する場合どこに書きこめばいいのでしょうか?以前質問した内容が消されてました。。。教えてください。よろしくお願いします。

投稿: 質問です | 2005.09.13 12:40

hitomiさん、コメントありがとうございます。

期待値というのは、たとえば、馬券(宝くじ)1枚を買ったとき、いくらぐらいのお金を受け取れると期待できるか、ということですね。これは、全受取額の平均と等しくなるという訳です。

で、年末ジャンボ宝くじ1枚の期待値はいくらなんでしょうね!

投稿: ひろみ | 2005.09.13 00:31

ひろみさんの書かれたN(μ,σの2乗)は、何が関係しているかよくわかる表現形式で数学では用いられます。結論から言うと、平均と期待値は同じものとして使って構いません。一応,hpを貼り付けますが、今期強く見る時間のない方は、結論のみ覚えても良いと思います。

:引用:
19世紀末から20世紀初頭にかけて、ベルヌーイ試行の結果 xk のみでなく、ある弱い条件*さえ満たせば、どんな確率分布を持つ確率変数の和でも、同じ釣鐘型曲線(正規分布)に近づくことが数学的に証明された**。これが中心極限定理である。

* 例えば、各 xi が互いに統計的に独立であり、平均(期待値)と分散が有限な同一分布を持つ場合には、その和は正規分布に近づく(J. Lindeberg, 1922)。 これは、わかりやすい充分条件であるが、今日では、より抽象化された弱い仮定の下で成立することが知られている。

** 最初に中心極限定理を数学的に証明に示したのは、Lyapunov(1901)であると言われている。


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投稿: hiotmi | 2005.09.11 06:10

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