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2008.08.12

χ2乗検定

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昨日の午後、ペンとメモを用意して、さあ、がんばるぞ~!と分散分析の勉強を始めました。しかし参考書の内容が何も頭に入らず…挫折してしまいました。はりきりすぎたかな??

金メダルを獲得した北村選手の泳ぎはすばらしかったですね。今日のラジオで、「ゆっくりだけど速い」泳ぎができた!と解説されていました。力みすぎた準決勝の泳ぎを反省した様です。
少しでもピッチをあげて、少しでも速く手足を動かすのではなく、ゆったりリラックスしているけれど速い、しかも後半に余力を残す。(実際腕でかく回数が、予選より4回少なかったそうです!びっくり!)理想的な展開だったと思います。みなさんの受験のときにも、同じようにできたらいいですね。

北村選手の涙は意外でしたが、感動しました。あんなにいつも強気の人なのに、誰にもわからない苦しさやプレッシャーがあったのですね。(浅田真央選手にも同じような場面がありました)

爽やかな汗と涙を目指して、落ち込んだり、さぼったり、またやる気を出したりしながら、ゴール目指して続けていきましょう!

ということで、仕切り直して、χ2乗検定の確認からしていきます。

χ2乗検定は、独立性の検定と言われます。

N個の標本が、AとBの変数に関して分類されたとき、2つの変数が独立しているかどうかを検定用いる。

この説明、私にはよくわかりません。
具体的には、男女などの差と、ある傾向について、男女差とその傾向に関係があるか、ないか(独立している)を検定します。クロス集計表が出てきます。
例:
大学生250人、性別と社会的態度(革新的 or 保守的)が関係するかどうか

   革新的  保守的  計
男   90     40   130
女   60     60   120
計  150     100   250

実測値から期待値を求めます。
男で革新的である期待値は、男性の総数(130)に革新的な割合(150/250)をかけます
130*150/250=78
同じように計算して
   革新的  革新的   保守的  保守的   計
   実測値  期待値   実測値  期待値
男   90     78      40     52   130
女   60     72      60     48   120
計  150     150     100     100   250

性別によるばらつき起らないならば、実測値と期待値は一致するはずです。実測値と期待値の差が、誤差の範囲なのか、誤差から大きくはなれた数字なのかを検定します。

統計の式がややこしくなるのは、いろんな数値を扱うときに、数値の大きさなどから生まれる違いをなくすためです。標準化と呼ばれる作業です。その作業を経たχ2乗の公式は

χ2乗=Σ(実測値-期待値)2乗/期待値
例について計算すると
χ2乗=12*12/78+12*12/72+12*12/52+12*12/48=1.846+2+2.769+3=9.615

この値が分布表のどこにあるかを見ます。
ただし、χ2乗分布も、自由度により分布が異なります。

自由度 φまたはdf は、標本から作り出して使用している平均値の数を標本の数から差し引いた値です。
しかしクロス集計表の場合は(列数-1)(行数-1)になります。
従って、例の場合は、
df=(2-1)(2-1)=1
です。

χ2乗分布はグラフの特徴から片側検定を行います。
自由度1の場合の p=0.05 のとき χ2乗=3.84
従って9.615はこれよりはるかに大きな値なので、
検定の結果は有意差あり、
性別による、革新・保守の分布に違いがあり、性別と社会的態度は互いに関連があり、独立ではない
という結論が得られます。

練習問題

表1の結果について、χ2乗の値を計算し、有意さを検討した結果として、正しいものはどれか。χ2乗分布については、表2を参照せよ。

表1
    x1    x2
y1  16   14
y2  24   66

表2
\p   0.10    0.05    0.01   0.001
df
 1   2.71    3.84    6.64    10.83
 2   4.60    5.99    9.21     13.82
 3   6.25    7.82    11.34    16.27
 4   7.78    9.99    13.28    18.46

1.p≦0.001である。
2.0.001<p≦0.01である。
3.0.01<p≦0.05である。
4.0.05<p≦0.10である。
5.p>0.10である。

手計算してみて下さい!!
がんばりましょう。

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